前面章节首先对GPS系统进行了介绍,包括GPS的组成、工作原理和误差来源。接着介绍了恒温晶振(OCXO),并分析了晶振的处理模型,下面就是介绍其相关的数学定义、老化数学模型和频率温度特性,为后面的老化补偿研究打下了基础。

2.2.2晶振的相关数学定义

  假设晶振输出信号为正弦波,其数学模型可以表示为:

式中V_O为标称峰值输出电压,§(t)为幅度偏移,φ(t)为相位偏差,f_r为标称频率。

瞬时频率为:

相对频率偏移为：

式中x(t)=为时间偏差,由式(2-7)可以得到：

瞬时频率的常用公式为:

式中f(t)为t时刻的瞬时频率值,f_O为t=0时刻的频率值,f_r为标称频率,D(t)为频率漂移率。

由式(2-7)和(2-9)可推导出:

式中,y为初始相对频率偏差。

由式(2-8)和(2-10)可以得到:

式中,x为初始时间偏差,也叫做同步误差。

  一般性能比较好的晶振,日老化率近似为常数,特别是对于OCXO,在频率保持模式下,我们只考虑老化对实际频率的影响。很多石英晶振的老化指标用的是年老化率,如±0.05ppm( Part per Million),一般情况下我们可以近似得出日老化率, 大概为年老化率的百分之一。

  假设晶振老化率为常数,式(210)变为：

其中当|Bt|<<1时,有ln(Bt+1)→Br,式(2-17)变为式(2-12)的形式:

y(t)=C+ ABt                              式(2-18)

  图2.4给出了典型的老化率数学模型。可以看出贴片晶振的老化率可以为正数可以为负数,也可能会产生图中曲线y3(t)的情况。图2.5为铷原子频标的老化曲线,由于测试曲线的后半段存在参考和被测之间因漂移方向相同的现象,从而导致漂移问题不是很明显。

式中,d_o、d为正数,参数a_j(n),j=1,2,…,M由当前数据输入和上次数据输出迭代估计得到,价值函数为

  通过最小化价值函数,可以得到参数a,(n),j=1,2,…,M,得到t(n)时刻的a_o a₁…a_M后,t(n+l)时刻的相对频率偏差预测值为:

系列实验表明,估计性能对d₀、d和M的取值不是很敏感,建议取值为d=1~05d(M-1),d=0.1~1.0,M=5~10。加权对数函数模型的缺点是计算比较复杂。

2.2.4晶振的频率温度特性

  除过老化的影响,温度也是影响频率变化的主要因素,而不同切型的石英晶体谐振器的频率一温度特性是不一样的,一般AT切基频晶体的频率一温度变化关系都是三次曲线,存在若干个零温度系数点,如图2.6所示。

  因此对其进行温度补偿晶振时要采用具有非线性函数拟合能力的数学模型。然而由于OCXO中一般采用SC切晶体,虽然其频率一温度变化曲线也是非线性的, 但是其频率一温度稳定度在宽温度范围内较AT切晶体有很大改善,并且由于它将晶体、振荡电路以及部分其它线路置于精密恒温槽中,恒温槽的工作温度选择在所用晶体的零温度系数点处,因此OCXO的频率温度系数非常小。

  当恒温槽的工作温度波动被控制在很小范围内时,如优于百分之一摄氏度时,其频率温度变化也可以被限制在很小的范围内,而且正是由于这种恒温作用,其频率温度变化曲线非常接近于线性。所以对OCXO的频率温度变化的预测可以采用线性数学模型, 而 Kalman滤波算法正是一种较好的线性模型估计器,因此用它来拟合OCXO晶振的频率温度特性曲线是合适的。